Автомобиль при движении по дороге с неровной поверхностью обычно испытывает случайные колебания. Если пытаться сохранять неизменными условия движения (состояние автомобиля, дороги и др.), то при многократном повторении заездов колебания какой-либо массы автомобиля будут каждый раз несколько иными, т. е. не будут в точности повторяться. 

Одна из причин этого состоит в том, что дорога представляет собой поверхность со случайным расположением неровностей.

Микропрофиль дороги является случайной функцией протяженности дороги (пройденного пути х), т. е. его ординаты при любом значении х являются случайной величиной.

Одна запись случайной функции^[I], например продольного микропрофиля дороги, представляет ее реализацию, а повторные записи образуют совокупность (ансамбль) реализаций (рис. 7). Колебания автомобиля меняются во времени t, т. е. представляют собой случайный процесс.

Полагая, что автомобиль движется равномерно, можно перейти от случайной функции к случайному процессу, так как х = vt.

Итак, случайная функция (процесс) является совокупностью бесконечного числа реализаций и в общем случае может быть обозначена следующим образом: {q(a, х)}, где — ∞ < х < ∞ и а = 1, 2,..., ∞. В дальнейшем будем обозначать эту функцию (или процессы) просто q(x).

Случайную функцию характеризуют статистическими характеристиками, которые получают усреднением, проводимым по совокупности реализаций, например: для момента времени t₁ или по времени — для одной реализации. Так, моменту времени t₁ будет соответствовать ряд значений ординат микропрофиля q₁(x₁) ... q₂(x₁) ... q_г(x₁)... q_a (x₁), которые можно рассматривать как случайные величины. Для них находят соответствующие им статистические характеристики, например закон распределения ординат микропрофиля и числовые величины, т. е. начальные или центральные моменты различных порядков. При осреднении по реализации такую случайную функцию считают непрерывной.

Обработка по совокупности реализаций может дать характеристику случайного процесса, тогда как обработка одной реализации не дает вообще такой характеристики, за исключением одного частного случая (эргодический случайный процесс).

Микропрофиль дороги принято рассматривать как случайную функцию, удовлетворяющую следующим допущениям: функция стационарна и эргодична; ординаты микропрофиля подчиняются нормальному закону распределения; длины неровностей ограничены по верхнему и нижнему пределам; микропрофиль меняется случайным образом только в вертикальной продольной плоскости дороги.

Перечислим предварительно статистические характеристики случайной функции (процесса) применительно к микропрофилю дороги. Они представляют собой средние значения, различные, если проводить осреднение по совокупности реализаций или для одной реализации, т. е. по протяженности (времени).

Основными статистическими характеристиками обычно считают:

среднюю ординату микропрофиля или математическое ожидание;

среднее квадратическое отклонение или дисперсию ординат;

корреляционную функцию или спектральную плотность.

Начнем со средней ординаты микропрофиля или математического ожидания. Если q'(х) - ординаты микропрофиля, отсчитываемые от некоторой горизонтали O₁O₁ (рис. 8, а), то осреднение по совокупности реализаций дает

В случае осреднения для одной реализации, при длине дорожного участка L_q, получим

Величина q_cp соответствует прямой АА. Случайную функцию удобно центрировать, перенеся ось абсцисс с прямой O₁O₁ на прямую АА. Получим (рис. 8, б) центрированную функцию

q(x), удобную тем, что математическое ожидание для нее в дальнейшем не рассматривается. Будем полагать далее микропрофиль дороги центрированной случайной функцией.

Перейдем к характеристике разброса ординат микропрофиля относительно среднего значения — дисперсии или среднему квадратическому отклонению. Проводя осреднение по совокупности реализаций, получим дисперсию

Дисперсия ординат (прямая ЕЕ), полученная при осреднении одной реализации,

Среднее квадратическое отклонение [q_c] или q_c получится при извлечении квадратного корня из дисперсии. Величина q_c соответствует прямой ВВ. Можно вводить и другие средние значения, например среднее абсолютных значений ординат одной реализации, отсчитываемых от математического ожидания (прямая СС):

Рассмотрим характеристику структуры случайного процесса — корреляционную функцию. Осреднение по совокупности реализаций дает для корреляционной функции выражение

В случае осреднения по одной реализации для корреляционной функции (автокорреляционная функция) получим

Чтобы лучше представить себе выражение (6), рассмотрим последовательность нахождения корреляционной функции, используемой в некоторых коррелометрах — приборах для автоматической обработки реализаций случайных процессов с целью определения R_q (х, х + x_s).

Схемы коррелометров различны, кроме того, корреляционная функция может быть получена косвенным путем. Наконец, как будет видно из дальнейшего, некоторые расчеты можно проводить и не используя корреляционную функцию. Вернемся, однако, к схеме нахождения корреляционной функции.

На ленте I (рис. 9, а) записан микропрофиль участка дороги длиной L_q. С ленты снимаются значения ординат q(x₁) и q(x₂), сдвинутые на расстояние x_s, и подаются в мультипликатор II, где перемножаются. Если ленту протягивать c равномерной скоростью, а произведение ординат суммировать в интеграторе III, то после прохождения участка на счетчике IV получится точка корреляционной функции, соответствующая смещению x_s = х₂ — x₁. Меняя величину x_s и повторяя весь процесс, получим остальные ординаты корреляционной функции. При отсутствии смещения (x_s = 0) получим дисперсию ординат данной реализации R_q(0) = q_c².

Следовательно, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает. Кроме того, мы условились рассматривать центрированные случайные функции, а поэтому приходим к важному выводу: достаточной статистической характеристикой микропрофиля дороги является его корреляционная функция.

Допущение о стационарности микропрофиля дороги существенно упрощает определение корреляционной функции: она зависит только от величины отрезка пути x_s. Корреляционная Функция будет одинакова и для участка х₂ — x₁ и для участка х₄ — х₃, лишь бы х₂ — х₁ = х₄ — х₃ = x_s. Поэтому уравнение (6) можно заменить выражением

Если отнести ординаты корреляционной функции к дисперсии, то получим нормированную корреляционную функцию

у которой ординаты — безразмерные величины. Если задана нормированная корреляционная функция, то одновременно должна быть известна и дисперсия (среднее квадратическое значение) ординат микропрофиля дороги.

Нормированные корреляционные функции различных дорог представлены на рис. 9, б. По характеру протекания их можно разделить на следующие (рис. 9, в): быстро убывающая монотонная функция 5, свидетельствующая о преобладании выступов и впадин (например, булыжное покрытие); медленно убывающая монотонная функция 6, характерная для цементобетонного и асфальтового покрытий при наличии неровностей в виде длинных волн; сложная функция 7, которую можно представить как сумму монотонно убывающей и колебательной функций. Корреляционная функция вида 7 обычно свидетельствует об износе и деформации дорожного покрытия, вызывающего появление на нем волн преобладающей частоты.

Если корреляционная функция дает представление об изменении микропрофиля по длине участка дороги (или случайного колебательного процесса во времени), то другая характеристика (спектральная плотность дисперсий или энергетический спектр) дает представление о частоте повторения длин неровностей (о преобладающих частотах при случайном процессе). Спектральная плотность имеет аргументом так называемую «частоту дороги» («путевую частоту»)

где s — длина неровности.

Корреляционная функция R_q(x_s) и спектральная плотность дисперсий S_g(θ) взаимно являются преобразованием Фурье:

Выражения (10) позволяют переходить от R_q к S_q и обратно. Оба выражения содержат одинаковую информацию о случайной функции, но корреляционная функция оказывается удобнее, например тогда, когда надо знать, содержит ли случайная функция периодическую составляющую. Спектральная плотность более наглядно характеризует частотные составляющие, и ее непосредственно используют при расчетах колебаний автомобиля, вызванных случайным микропрофилем дороги.

Если отнести величину спектральной плотности к дисперсии, то получим нормированную величину спектральной плотности

Схема определения спектральной плотности дисперсий, используемая иногда при частотном анализе реализаций случайной функции, представлена на рис. 10, а. Реализация q(x) случайной функции поступает к узкополосному фильтру 1, имеющему относительную частоту пропускания Δθi/θi, где Δθi - достаточно узкая полоса частот, пропускаемых вокруг среднего значения θi. Сигналы, прошедшие через фильтр у(х), поступают к квадратору 2, где возводятся в квадрат, а затем суммируются и осредняются в блоке 3. Если результат t(x) разделить на полосу пропускания фильтра Δθi с учетом масштабов, то получим спектральную плотность, соответствующую узкой полосе частот вокруг значения θi, т. е. одну точку кривой спектральной плотности. Точность анализа обеспечивается надлежащим выбором относительной частоты пропускания и характеристики фильтра, а также длины реализации [82].

Характеристика 4 идеального полосового фильтра изображена на рис. 10, б, а действительная характеристика соответствует кривой 5 для фильтра со средней частотой 10 гц и полосой пропускания 8,91- 11,23 гц. Чем уже полоса пропускания фильтра и ближе его характеристика к идеальной, тем точнее результаты спектрального анализа. По аналогии с акустикой относительную полосу пропускания Δθ/θ = 0,67 называют октавой, а полосу 0,23 — терцией.

Выбор полосы пропускания фильтров и их числа зависит от ожидаемого интервала длин неровностей микропрофиля дороги. Самыми короткими можно считать неровности, длины которых несколько превышают длину отпечатка шины, так что размеры существенно не меняются из-за сглаживающей и поглощающей способностей шипы (практически S_min ≥ 0,2 ÷0,4 м). Самыми длинными являются неровности, проезд которых может вызвать перемещения кузова, превышающие высоту данной неровности.

Если n_Ω — 1 гц самая низкая из собственных частот, то наиболее длинными можно считать неровности, проезд которых соответствует частоте n_v ≈ 0,5 гц. Между s в м, v_a в км/ч и n_v существует зависимость s=v_a /3,6n_v, поэтому s_max ≈ 0,55 v_a. Скорость при испытаниях выбирают такой, чтобы длина неровности не была чрезмерной и не сливалась с длиной подъемов или уклонов.

В одной из работ интервал неровностей был принят равным 0,5—49 м, что при скорости 40 км/ч соответствовало полосе частот 0,22—22,5 гц [109]. В другой работе [149] полоса частот была принята равной 0,5—31,5 гц, что позволило при скоростях 30—120 км/ч охватить неровности с длинами 0,26—66,8 м:

Чтобы охватить эту полосу частот, потребовалось 19 терцие- вых фильтров. При одинаковой относительной полосе пропускания абсолютная полоса фильтра возрастала с увеличением частоты, поэтому фильтры подбирали так, чтобы получить кривые, показанные на рис. 10, в. Примеры спектральной плотности ординат микропрофиля автомобильных дорог представлены на рис. 10, г. Площадь под кривой спектральной плотности равна дисперсии ординат микропрофиля:

В микропрофиле дорОги содержатся неровности различной длины s, которые могут вызывать колебания разной частоты v. Если T_v — время проезда неровности в сек, a v и v_a — скорости автомобиля соответственно в м/сек или в км/ч, то

Воспользуемся двумя понятиями: частоты по времени и частоты по протяженности 0 («частота дороги»). Учитывая (9), получим следующую связь между ними (где θ в м^-1):

При расчетах, когда приходится переходить от случайной функции q(x) к случайному процессу q(t), необходимо переходить также от R_q(x_s) к R_q(τ), где τ = x_s/v, и от S_g(θ) к S_q(v). Для корреляционной функции это достигается заменой переменной x_s на τ, т. е.

Учитывая выражения θ и τ для спектральных плотностей, получим

Таким образом, для перехода от зависимости S_g(Q) к S_g (v) необходимо изменить масштабы по оси абсцисс и ординат так, чтобы

Такая замена не отражается на величине дисперсии, так как. учитывая (14), получаем

и, следовательно,

Вернемся к исходным допущениям. Удобство предположения того, что микропрофиль дороги представляет собой стационарную, эргодическую случайную функцию, обладающую нормальным законом распределения, состоит в возможности взамен множества реализаций рассматривать единственную. Если микропрофиль дороги — стационарная случайная функция, то значит в любых сечениях (t₁, t₂ ..., см. рис. 7) статистические характеристики по совокупности реализаций (математическое ожидание [q_cp], дисперсия [q_c]² и корреляционная функция [G_q(x_s)]) будут одинаковы. Свойство эргодичности предполагает, что любая из множества реализаций имеет такие же статистические характеристики, какие дает осреднение по совокупности реализаций, т. е.

q_cp =[q_cp]; q_c = [q_c]; R_q(x_s) = G_q(x_s).

Это свойство и позволяет на основании обработки одной реализации судить о свойствах их совокупности, т. е. непосредственно о случайном процессе. Допущение о нормальном законе распределения позволяет считать, что величины q_cp, q_c и R_q(x_s) дают исчерпывающую характеристику микропрофиля дороги как случайной функции. Учитывая приведенные соображения, приходим к единственной характеристике микропрофиля дороги: корреляционной функции или спектральной плотности диспереий, т. е.  R_q(x_s) и S_q(θ) или R_q(τ) и S_q(v).

Уместно подчеркнуть, что свойство эргодичности не предполагает, что микропрофиль дороги одинаков для разных его участков или, например, под правыми и левыми колесами. Микропрофиль может быть разным, но его статистические характеристики должны остаться инвариантными по времени или протяженности пути.

Таким образом, для перехода от зависимости S_g(Q) к S_g (v) необходимо изменить масштабы по оси абсцисс и ординат так, чтобы

Такая замена не отражается на величине дисперсии, так как. учитывая (14), получаем

и, следовательно,

Вернемся к исходным допущениям. Удобство предположения того, что микропрофиль дороги представляет собой стационарную, эргодическую случайную функцию, обладающую нормальным законом распределения, состоит в возможности взамен множества реализаций рассматривать единственную. Если микропрофиль дороги — стационарная случайная функция, то значит в любых сечениях (t₁, t₂ ..., см. рис. 7) статистические характеристики по совокупности реализаций (математическое ожидание [q_cp], дисперсия [q_c]² и корреляционная функция [G_q(x_s)]) будут одинаковы. Свойство эргодичности предполагает, что любая из множества реализаций имеет такие же статистические характеристики, какие дает осреднение по совокупности реализаций, т. е.

q_cp =[q_cp]; q_c = [q_c]; R_q(x_s) = G_q(x_s).

Это свойство и позволяет на основании обработки одной реализации судить о свойствах их совокупности, т. е. непосредственно о случайном процессе. Допущение о нормальном законе распределения позволяет считать, что величины q_cp, q_c и R_q(x_s) дают исчерпывающую характеристику микропрофиля дороги как случайной функции. Учитывая приведенные соображения, приходим к единственной характеристике микропрофиля дороги: корреляционной функции или спектральной плотности диспереий, т. е.  R_q(x_s) и S_q(θ) или R_q(τ) и S_q(v).

Уместно подчеркнуть, что свойство эргодичности не предполагает, что микропрофиль дороги одинаков для разных его участков или, например, под правыми и левыми колесами. Микропрофиль может быть разным, но его статистические характеристики должны остаться инвариантными по времени или протяженности пути.

Вообще следовало бы рассматривать микропрофиль дороги как двумерную случайную функцию q(x, у), учитывающую случайное изменение ординат не только в продольной, но и в поперечной плоскости дороги. Однако такой подход чрезвычайно усложнил бы решение задачи. К тому же первые сведения об изменении ординат микропрофиля вдоль оси у указывают на независимость случайных функций q(x) и q(y) [59].

Для дорог с волнообразными выступами и впадинами М. Д. и Н. Д. Агеевы предложили полагать направления гребней и впадин перпендикулярными к продольной оси дороги [3]. В таком случае микропрофиль дороги можно охарактеризовать двумя параметрами — ординатой q(x) среднего сечения и углом β_q(х) поперечного сечения. Тогда статистическое описание микропрофиля дороги задают двумя более простыми, чем при двумерном процессе, корреляционными функциями

В большинстве случаев решающее значение имеют колебания в продольной плоскости, что и позволяет ограничиться в дальнейшем рассмотрением микропрофнля как одномерной функции q(x). Учет случайной функции q(x, у) целесообразен при проверочном расчете колебаний автомобиля на ЭВМ.

Перейдем к некоторым характеристикам и свойствам микропрофиля автомобильных дорог.

Если обозначить p(q) вероятность существования ординаты q микропрофиля, то теоретически все значения ординат будут заключены в пределах ±∞. Отсюда

В действительности все ординаты микропрофиля находятся в сравнительно узком интервале значений, определяемом функцией распределения ординат микропрофиля. Результаты опытов (рис. 11) показывают, что с вероятностью 90% средняя квадратическая величина выступов не превышает 6—12 мм для цементобетона (кривые 1 и 2), 18 мм для асфальтобетона (кривая 3) 23 мм для грунтовой дороги автодрома (кривая 4) и 29 мм для булыжной дороги (кривая 5). При этом изменение функций распределения было близко к нормальному закону, что подтверждает принятое допущение. При нормальном распределении средняя квадратическая ордината микропрофиля соответствует p(q)  = 8,4% для выступов и 16% для впадин.

Обмеры микропрофиля автомобильных дорог показали [71], что средние квадратические значения ординат (q_c в см) составляют для различных покрытий:

Найдем вероятность того, что текущая ордината микропрофиля (рис. 12, а) останется в пределах

Если

то частота выполнения последнего условия будет равна x_q/L_x. Отнесем это отношение к Δq и перейдем к пределу. Получим вероятность выполнения поставленного условия:

Обработка записей микропрофиля дорог подтвердила, что вероятность распределения ординат микропрофиля близка к нормальному закону [33, 110 и др.]. Представим нормальный закон распределения ординат в полулогарифмических координатах (рис. 12, б). Вероятность того, что текущее значение ординаты микропрофиля будет равно или больше q_c, составит 31,7%, а равно или больше 2q_c окажется 4,6%. Утроенное значение средней квадратической величины можно рассматривать как практический предел ординаты (высоты) микропрофиля, так как вероятность появления этого или большего значения составляет всего 0,3%. Отсюда возникает простая зависимость

Это соотношение, встречающееся довольно часто, должно, однако, рассматриваться лишь как первое приближение. Результаты опытов [123] показывают (рис. 12,6), что большие отклонения плохо согласуются с нормальным законом (участки А). В другой работе [110], где также использовано допущение о нормальном законе распределения применительно к ускорениям кузова, указывается, что с возрастанием величины отклонения погрешность, возникающая при пользовании нормальным законом, увеличивается. Так, при ускорениях, равных среднему квадратическому отклонению, разброс значений, полученных экспериментально, относительно теоретической кривой составил 10%, а при удвоенном среднем квадратическом — 33%. Известно также, что попытки определить максимальные нагрузки, возникающие при перевозке ракет, по формуле (16) закончились неудачно ¹.

Таким образом, можно считать, что в своем подавляющем большинстве ординаты микропрофиля дороги подчиняются нормальному закону распределения и их максимальная величина отвечает зависимости (16). Если вероятность появления максимальных ординат микропрофиля должна быть найдена с достаточной точностью, например, при определении положений ограничителей хода колеса или вероятности появления пиковых нагрузок, то необходимы дополнительные исследования.

Между высотой неровности и ее длиной существует статистическая взаимосвязь. Частотный анализ микропрофиля, проведенный при помощи октавных фильтров, позволил построить спектральные плотности S_q(s) высот неровностей в зависимости от их длины s (верхняя часть рис. 13, а). Функция S_q(s) может изменяться по-разному: кривая 2 соответствует изношенному бетонному шоссе с длиной плит 6,3 м; кривая 3 — старому шоссе после ремонта; кривая 4 — неизношенному городскому шоссе. Кривые 1 приняты за вероятные для современных дорог

¹ Р. Хэвилэнд. Инженерная надежность и расчет на долговечность. М., «Энергия», 1966.

пределы изменения спектральных плотностей [123]. Если перейти к средним квадратическим значениям высот неровностей в полосе пропускания фильтров в зависимости от их длины, то получим кривые, изображенные на рис. 13,б. Следовательно, как бы ни менялась S_q(s), высота неровностей возрастает с увеличением их длины.

При определении статистических характеристик микропрофиля иногда возникает вопрос о минимальной длине микропрофиля дороги L_х, обеспечивающей стабильные и достоверные характеристики. Одно из предложений [62] заключается в том, чтобы обеспечить продолжительность записи не менее максимального времени корреляции для ускорений кузова при колебаниях, т. е. создать условие R_z (τ) ≤ 0,05 R_z .(0). Отсюда, полагая период колебаний самой низкочастотной составляющей около 1,2 сек, получим минимальную продолжительность записи около 12 сек. Предлагалось также считать статистические характеристики дороги неизменными, если L_х  ≥ S_max,где S_max - наибольшая длина неровности на участке дороги. Величина S_max может быть неопределенной, но конечная рекомендация сводится к L_x = 200 ÷ 500 м.

При испытаниях в НАМИ определяли величину q_c через каждые 250 м для участка длиной до 1500 м [69] по материалам четырех заездов. Чтобы величина q_c стала более или менее стабильной, длина выбранного участка должна быть не менее 500 м и лишь для дорог с булыжным или щебеночным покрытием с выступами и впадинами возможно уменьшение длины участка до 250—300 м. Можно иначе определять L_min [87].

При автоматизированной записи микропрофиля и ее последующей обработке длина участков дороги увеличивается до 1 км [149], а продолжительность записи от 2 до 15 мин [152]. Если результаты испытаний необходимо сопоставлять с данными расчета, то микропрофиль участка дороги должен отвечать условиям стационарности и эргодичности. Эти условия определят и его минимальную длину.

Как же моделируют микропрофиль дороги для его учета при расчетах колебаний автомобиля?

Микропрофиль дороги можно оценить:

детерминистически и свести к волнообразному гармоническому профилю или к единичной неровности;

статистически по конкретной его реализации или по статистической характеристике — спектральной плотности ординат. Последнюю определяют через корреляционную функцию или непосредственно.

При детерминистической оценке микропрофиль дороги рассматривают как сочетание отдельных неровностей, характеризующихся длиной, высотой, формой и чередованием. Радиус автомобильного колеса значительно больше высоты неровности, а упругая шина обладает способностью сглаживать резкие очертания неровностей. Поэтому можно принять профиль неровностей синусоидальным относительно средней линии неровности. Относительно плоскости дороги кривая будет смещена на q₀(рис. 14). Для текущего значения х уравнение профиля неровности имеет вид

При равномерном движении х = vt. Тогда

где v принимают по формуле (12).

При единичных неровностях понятие частоты теряет смысл, и тогда величину v связывают со временем проезда неровности (продолжительностью действия возмущения):

В некоторых исследованиях за профиль единичной неровности принимают полуволну

Сравнение колебаний, вызванных единичными неровностями, с колебаниями, вызываемыми профилем, меняющимся по закону (17) или (19) , показало, что различие является количественным и небольшим.

На дорогах, особенно с поверхностью, изнашиваемой и деформируемой автомобильным транспортом, вполне могут встретиться две — четыре следующие друг за другом неровности, достаточно близкие по длинам. Исследование на АВМ колебательных систем, эквивалентных автомобилю, показало, что при гармоническом возбуждении и исправных амортизаторах уже после трех-четырех неровностей колебания практически устанавливаются и остаются близкими к тем, которые возникают при бесконечном волнистом профиле. Последний случай является наиболее тяжелым, и вынужденные колебания могут быть интенсивнее, чем случайные.

На бетонных шоссе, состоящих из плит одинаковой длины, стыки между плитами являются источниками воздействий типа импульсов, которые неприятны своей периодичностью. Стыки плит с течением времени разрушаются, и интенсивность воздействия становится значительной. В США, например, длина плит в различных штатах различна (5—35 м), а поэтому избежать резонансных воздействий не удается. Собственные частоты угловых колебаний для грузовых автомобилей с грузом составляют 2—4,5 гц, для прицепов без груза 8 гц, а вертикальных колебаний — соответственно 1,5—3,5 гц и вплоть до 5,5 гц. Поэтому устранение условий резонансов на скоростях до 100 км/ч возможно лишь при длинах плит шоссе не менее 15 м [122].

Учитывая эти соображения, а также необходимость упрощения расчетов и желание сделать более удобными экспериментальные исследования, иногда принимают профиль дороги с правильной волнистой поверхностью. Это удобно и в тех случаях, когда необходимо оценить сам автомобиль без учета случайного характера микропрофиля дороги. Наконец, одним из этапов расчета колебаний автомобиля при случайных возмущениях является расчет при гармоническом воздействии, т. е. движении автомобиля по дороге с правильной волнистой поверхностью.

Выбору возмущения в виде единичной неровности можно дать следующее обоснование. Автомобиль как колебательная система вследствие действия затухания обладает короткой «памятью». Можно показать, что колебания зависят в основном от того участка микропрофиля дороги, на котором находится колебательная система в рассматриваемый момент времени. Это позволяет выбрать наибольшую неровность микропрофиля дороги и, считая влияние остальной ее части малым, рассмотреть колебания автомобиля при проезде такой единичной неровности произвольного профиля.

Отметим, что единичные неровности можно делить на выступы и впадины, хотя при непрерывном их чередовании такое деление является относительным. Микропрофиль неровности в виде выступа задают выражениями (17) или (19), а в случае впадины знаки перед ними изменяют на обратные. Единичная неровность в форме выступа вызывает при малой длине неровности и достаточной скорости автомобиля большее воздействие, чем впадина. Это удобно, так как выступы легче создать при организации дорожных испытаний автомобиля на различные колебания.

Проезд выступа или впадины подробнее будет рассмотрен ниже, а пока будем считать, что неровность имеет форму выступа (более общий случай). За источник возмущения можно принимать конкретную реализацию случайного микропрофиля, например, при проведении проверочных расчетов или сопоставлении результатов испытаний и расчетов.

Исходными для расчета являются ординаты участка дороги, заданные с определенным шагом  h_a. Трудность расчета состоит в том, что даже при движении автомобиля с постоянной скоростью для точного описания микропрофиля в память ЭЦВМ пришлось бы вводить очень большой объем числового материала. Поэтому реальный микропрофиль обычно аппроксимируют кусочно-постоянной (ступенчатой) или кусочно-линейной функцией [8], а также при помощи интерполяционной формулы Ньютона, используя координаты нескольких точек микропрофиля [12]. Оказалось, что при шаге 0,5 м достаточная точность воспроизведения микропрофиля дороги получается при использовании координат четырех точек, две из которых находятся по одну, а две по другую сторону искомой точки.

Более распространено введение в расчет не самого случайного микропрофиля, а его статистической характеристики — спектральной плотности S_q(v) ординат микропрофиля. Одни авторы находят спектральную плотность S_q(v) косвенным путем, через корреляционную функцию [21, 59, 71, 102], а другие непосредственно - опытным путем [8, 109, 149, 151]. Такое различие в подходе имеет свои причины.

Преимущество расчета через корреляционную функцию состоит в доступности метода, так как R_g(x_s) можно рассчитать и вручную, правда, с большими затратами времени, и автоматизируя в различной степени процесс обработки. Непосредственное определение спектральной плотности проще, чем нахождение функции R_g(x_s)и ее преобразование по Фурье. Однако для определения спектральной плотности необходим набор фильтров с достаточно хорошими характеристиками. Возможно также опытное определение спектральной плотности через корреляционную функцию по формулам (7) и (10). Рассмотрим перечисленные способы.

Моделирование микропрофиля дороги при помощи корреляционной функции состоит в том, что найденную опытным путем кривую аппроксимируют тем или иным выражением. Для общего случая нормированной корреляционной функции микропрофиля (см. кривую 7, рис. 9, в)

Для корреляционных функций, показанных в виде кривых 5 и 6 (см. рис. 9, в), можно ограничиться только первым слагаемым

Проведенный анализ [59, 70] показал, что этими выражениями достаточно хорошо аппроксимируются результаты испытаний. Рассматривая выражения (20) и (21), можно заметить следующее. Коэффициенты α₀₁ и α₀₂ характеризуют быстроту убывания корреляционной функции. Между коэффициентами A₁ и A₂ существует следующая связь: A₁ + A₂ = 1. Наличие второго слагаемого в выражении (20) указывает на элемент периодичности в случайном процессе с частотой β_q0. Это означает, что в микропрофиле дороги будут преобладать неровности длиной s = 2π/β_q0, а на кривой спектральной плотности появится относительный максимум при частоте β_q0.

Учитывая значения коэффициентов α_1,2 и β_q в выражениях для R_q*(x_s), приведенных в табл. 2, получим расчетные уравнения для S_q* (τ).

Моделирование микропрофиля дороги при наличии экспериментальной функции его спектральной плотности сводится к аппроксимированию опытной зависимости расчетным уравнением. В частности, использование дробно-рациональных функций с заменой логарифмической кривой прямолинейными сопрягающими отрезками привело к расчетным уравнениям, которые с некоторым округлением коэффициентов даны в табл. 3 [8].

Выражения для спектральных плотностей можно упростить, если учесть, что даже для дорог одного типа S_q могут быть иногда существенно различными, а проектный расчет колебаний,

для которого необходимы S_q, в основе своей не требует очень высокой точности. В ряде случаев оказалось [109, 149, 151], что спектральную плотность с достаточной точностью можно определять по выражению

где а и b — постоянные коэффициенты, зависящие от вида покрытия.

Статистические характеристики позволяют давать обобщенную оценку микропрофиля автомобильных дорог больших географических районов и целых стран. В одной из работ [109] сначала определяли спектральные плотности выборочных участков дорог с одинаковым типом покрытия. Например, для десяти участков дороги с булыжным покрытием различного состояния после аппроксимации опытных кривых зависимостями (26) было получено семейство кривых (рис. 15, а), по которому найдена характеристика средней булыжной дороги (штриховая линия). Повторение испытаний для дорог с другими покрытиями привело, после осреднения, к результатам, представленным на рис. 15, б и в табл. 4. Полученные данные позволили установить

границы изменения статистических характеристик микропрофиля (кривые 6), а также выбрать характеристики средних дорог в масштабе страны — автомагистрали (кривая 5) и дороги среднего качества (кривая 7). Сделаем два вывода:

«средняя дорога» является результатом серии осреднении, при которых исходные допущения о характере случайного процесса нарушаются в той или иной степени; это лишнее подтверждение того, что расчет на действие случайного микропрофиля приближенный, так как пока неизвестны работы с подробной оценкой статистической достоверности расчетов, основанных на подобных осреднениях;

субъективные оценки различных дорог, дававшиеся (по пятибалльной системе) независимо от результатов испытаний, не всегда сходились с оценкой по средней квадратической высоте неровности. Сравнение субъективных оценок и средних квадратических ординат для участков шоссе с булыжным покрытием дало следующие результаты:

Ротенберг Р.В.
Подвеска автомобиля
1972