Поместим в плоскопараллельный безграничный поток цилиндр радиусом r₀ и бесконечной длины (рис. 13). В этом случае для точки, удаленной от центра цилиндра на расстояние r≥r₀, потенциал скорости

функция тока

радиальная проекция скорости

тангенциальная проекция скорости

В соответствии с уравнениями (24) и (25) при r = r₀ , v_r = 0; v_s= —2v₀sinθ.

Рис. 13. Бесциркуляционное обтекание кругового цилиндра

Циркуляцию скорости вокруг цилиндра определяют по уравнениям (9), (24) и (25):

Интегрируя уравнения dx= —p cosθ ds и dy = — p sinθ ds, представляющие собой проекции равнодействующей силы pds давления (рис. 14), действующей на элементарную площадку ds, элементарная дуга которой ds = r₀dθ, получим

Таким образом, вертикальная и горизонтальная- составляющие силы давления при бесциркуляционном обтекании цилиндра потенциальным потоком жидкости равны нулю. Это противоречие между теоретическим выводом и экспериментальными данными носит название парадокса Даламбера — Эйлера.

Из уравнения Бернулли для бесциркуляционного обтекания цилиндра можно получить величину коэффициента давления

 которая не зависит от плотности жидкости, давления и скорости набегающего потока и радиуса цилиндра и представляет собой четную функцию угла θ.

Для безотрывного бесциркуляционного обтекания тела потоком идеальной жидкости равенство нулю результирующей силы давления имеет место не только для цилиндра, но для тела любой формы. На рис. 15 приведены эпюры распределения давления по поверхности цилиндра при его симметричном обтекании, полученные теоретически (штрих-пунктирная линия) и экспериментально (сплошная линия).

Перейдем теперь к циркуляционному обтеканию цилиндра в случае, когда совпадающий с осью цилиндра плоский вихрь сочетается с бесциркуляционным обтеканием цилиндра. Тогда функция тока на основании уравнений (10) и (23)

а потенциал скорости на основании (10) и (22)

Определим проекции скорости:

Тогда для r = r₀ (поверхность цилиндра)

Схема течения при циркуляционном обтекании цилиндра показана на рис. 16, а при Г<4πv₀r₀, а на рис. 16, б — при Г = 4πv₀r₀, когда обе критические точки А и В совмещаются в одну.

Рис. 16. Циркуляционное обтекание кругового цилиндра:

а — при Г<4πv₀r₀; б — при Г=4πv₀r₀

При несимметричном обтекании цилиндра (θ =45°; Г≠0) распределение давления показано на рис. 17.

В потенциальном потоке тело любой формы не подвергается действию подъемной силы или силы сопротивления. Без учета сил трения (идеальная жидкость) невозможно объяснить причин появления в потоке вихрей. По предложению Н. Е. Жуковского силовое воздействие потока идеальной жидкости на тело объясняется возникновением циркуляции.

Рис. 17. Распределение давления при несимметричном обтекании цилиндра

Рассматривая плоскую задачу для цилиндра бесконечной длины, Н. Е. Жуковский дал формулу силы лобового сопротивления

и формулу подъемной силы

После подстановки в формулы (27) и (28) значений (26) получим

Раскрывая скобки в уравнении (29), получим основную формулу аэродинамики — формулу Жуковского:

Величина подъемной силы зависит от формы тела, поэтому каждому теоретическому решению соответствует свое значение циркуляции относительно охватывающего тело контура. Для одного и того же тела в разных потоках будем иметь различные значения подъемной силы.

Рис. 18. Обтекание тела при совпадении задней критической точки с задней острой кромкой тела

При этом необходимо выполнение постулата Жуковского—Чаплыгина о том, что в реальной жидкости задняя критическая точка должна совпадать с задней острой кромкой тела (рис. 18), так как иначе возникли бы бесконечно большие скорости, нереальные для жидкости. В действительности обтекание острой задней кромки приводит к возникновению вихря, смещающего заднюю критическую точку до совпадения ее с задней кромкой тела.

Рис. 19. Схема образования «разгонного» вихря

Схема образования такого вихря при движении самолетного крыла показана на рис. 19. При обтекании крыла воздухом (маловязкий газ) явление циркуляции и возникновение подъемной силы носят такой же характер, так как вязкость проявляется лишь в пределах тонкого пограничного слоя, скорость резко уменьшается и становится равной нулю на поверхности крыла.

Автор: Е.В. Михайловский