В кинематике жидкой среды рассматривают движение жидкости, абстрагированное от вызывающих его причин. Возможны два метода исследования этого движения: субстанциальный и локальный. При использовании субстанциального метода Лагранжа анализируют движение отдельных частиц жидкости, причем наблюдатель как бы перемещается вместе с движущейся частицей. В локальном же методе Эйлера движение жидкой среды рассматривают с точки зрения наблюдателя, расположенного в неподвижной точке. Этот метод получил

Рис. 2. Линия тока и траектория движения частиц жидкости: а—линия тока; б—траектория движения

наибольшее распространение вследствие своей простоты. Применяя локальный метод, анализируют не движение отдельных частиц, а явления, происходящие в каждой точке пространства в данный момент времени. При этом исследуют не траектории движения частиц (например, линия ABCD на рис. 2, б), а так называемые линии тока, т. е. линии, в каждой точке которых касательные совпадают с вектором скорости в этой точке (линия по точкам 1—5 на рис. 2, а и линии 6—9 на рис. 2, б).

Дифференциальное уравнение линии тока имеет следующий вид:

где dx, dy, dz — проекции элемента вектора dl касательной к линии тока на координатные оси; v_x = v_x(x, у, z, t), Vy = v_y(x, у, z, t), v_z = v_z(x, у, z, t) —проекции скорости на координатные оси.

Совокупность линий тока, образующих замкнутую поверхность с бесконечно малой площадью поперечного сечения, называют трубкой тока, а протекающую внутри этой трубки жидкость — элементарной струйкой.

Применительно к движущейся жидкости условие сохранения массы выражается уравнением неразрывности. В момент времени t в объеме V масса т жидкости может быть определена как

Через элементарную площадку ∆s, ориентация которой определяется внешней нормалью n, расход жидкости составит

Чтобы получить уравнение неразрывности, выражающее связь между площадью поперечного сечения струйки и скоростью, рассмотрим два ее поперечных сечения I и II (рис. 3),

Рис. 3. Схема расположения поперечных сечений струйки

расположенных бесконечно близко (на расстоянии ds). В этом случае условие неразрывности в неустановившемся потоке сжимаемой жидкости примет вид

Для потока конечных размеров при установившемся течении и незначительных изменениях плотности, введя среднюю скорость v_ср, получим

Движение любой точки твердого тела состоит из вращения относительно ее полюса и поступательного перемещения вместе с полюсом. Элементарное перемещение частицы жидкости описывает теорема Коши—Гельмгольца, в которой это перемещение принято как сумма поступательного, вращательного и деформационного перемещений.

Разлагая в точке С компоненты v_х(С), v_y(C) и v_z(C) вектора скорости v(C) в ряд Тейлора без учета членов, содержащих бесконечно малые выше первого порядка, получим

Эти уравнения могут быть преобразованы к следующему виду:

Где

Величины 0_Х, 0_у и 0_Z пропорциональны компонентам скорости угловых деформаций двугранных углов параллелепипеда и характеризуют скорости относительного сдвига его параллельных граней.

Величины Ω_x, Ω_y и Ω_z — компоненты вектора Ω угловой скорости вращения

где rot v — ротор или вихрь скорости. Введя обозначения:

Где

а Ф — однородная функция,

Систему уравнений (2) можно привести к виду

Автор: Е.В. Михайловский