Поток идеальной жидкости, движение в котором совершается без вращения частиц
(безвихревое движение), называют потенциальным. Для такого потока справедлива следующая система:
Если существует функция, которая определяется соотношениями
то на основании системы (4) получим следующие равенства:
Из соотношений (4) следует, что
а проекция
vn на направление, заданное ортом п,
Функцию ϕ
называют потенциалом скорости.
Уравнение неразрывности, не содержащее составляющих скорости vx,
vy и vz, носит название уравнения Лапласа:
Поверхности,
во всех точках которых ϕ (x,y,z) = const, называют эквипотенциальными.
В потоке, представляемом функцией ϕ = ϕ1+ϕ2+...+ϕn, составляющие скорости по координатным осям равны следующим суммам скоростей по этим осям в потенциальных потоках с потенциалами скоростей ϕ1, ϕ2,..ϕn
Если частицы жидкости, расположенные на прямой, перпендикулярной к плоскости,
движутся с одинаковыми скоростями по одинаковым траекториям (рис. 4), то такое движение называют плоским и для него упрощается изучение потока.
Уравнение неразрывности для плоского движения
будет удовлетворено, если ввести функцию ψ(x,y), для которой
Если подставить для плоского движения в уравнение линии тока (dx/vx) = (dy/Vy) или vxdx—vxdy = 0 значения vx и vy, то
где ψ = const.
Через элемент поверхности с основанием в виде элемента dl контура объемный расход жидкости при нормальной составляющей скорости vn будет равен dQ=vndl. Для кривой АВ (рис. 4, являющейся отрезком линии тока, вследствие равенства функции тока постоянной величине, расход жидкости равен нулю.
Рис. 4. Схема плоского движения
Функция тока существует как в безвихревых, так и в вихревых потоках. Для плоского потенциального течения характерны функции тока ψ
(x, y) и потенциал скорости ϕ (x,
y).
Величина скорости независимо от того, какой функцией она выражается, может быть одна и та же
(условие Коши—Римана). Функция тока и потенциал скорости являются гармоническими функциями, так как для плоского безвихревого движения они удовлетворяют уравнению Лапласа. Для плоского движения эквипотенциальные поверхности являются эквипотенциальными плоскостями. В соответствии с условием Коши—Римана, если рассматривать функцию ψ тока как потенциал скоростей, то потенциал скорости исходного потока станет функцией тока в новом потоке, а линиями тока в новом потоке станут эквипотенциалы исходного потока.
Пусть все частицы потока движутся с постоянной скоростью vo параллельно оси 0х, тогда на основании системы уравнений (5)
Для плоского течения
На плоскости х0у семейство параллельных оси 0х прямых может быть представлено уравнением
Поток жидкости, вытекающей из центра по радиусам с одинаковой во всех направлениях скоростью, называют источником. Плоским источником (рис. 5) называют прямую,
из всех точек которой непрерывно по нормальным к ней направлениям вытекает жидкость. Скорость жидкости по радиусу на расстоянии r от плоского источника при секундном расходе жидкости Q составит
vr= (Q/2πr).
Если эту скорость выразить через потенциал ϕ, то
При решении практических задач точку, в которой r
= 0, для плоского источника заключают в цилиндр, а для пространственного — в сферу радиуса r0.
Если имеются положительный и отрицательный (сток) источники (рис. 6), то функция тока для положительного источника ψ(x,y) = (Q/2π)θ, для отрицательного ψот
= — (Q/2π)θ, а для суммарного потока ψ(x,y) =(Q/2π)∙(θ1—θ2).
Диполем называют находящиеся на бесконечно малом расстоянии δх друг от друга источник и сток с равными секундными расходами ±Q, когда в пределе δх→∞, а Q→0. Для расположенных в одной точке источника и стока функцию тока и потенциал скорости нельзя получить сложением соответствующих величин,
так как их сумма равна нулю.
Потенциал скорости
в этом случае получит вид
После преобразований
где М = lim Qδx = const —
момент диполя.
Расположим диполь в поступательном потоке
(рис. 7). Сложив уравнение (6) функции тока поступательного потока и уравнение
функции тока диполя, получим
После сложения потенциала поступательного потока ϕ
= V0X + c (c =
const) с потенциалом (6) диполя получим
Из уравнения для нулевой линии тока
следует, что y
= 0 или 1 — (M/2πv0r2) =0.
Нулевая линия тока, представляющая собой совокупность совпадающей с осью
0x прямой и окружности радиуса r0 = √М/2πv0 с центром в начале координат, делит поток непроницаемой цилиндрической поверхностью на внешнюю и внутреннюю области.
Следовательно, наложение на диполь поступательного потока образует обтекание кругового цилиндра (рис.
8), на поверхности которого при r = r0
Автор: Е.В.
Михайловский |