Для понимания силового взаимодействия твердого тела с жидкостью большое значение имеет теория вихревого движения частиц жидкости. При движении автомобилей в воздушной среде имеют место вихревые движения частиц воздуха. На образование завихрений около движущегося тела и на поддержание вихрей должна быть затрачена определенная энергия.

Вектор мгновенной угловой скорости, определяющий вращение частицы около мгновенной оси, называют вихрем. Аналогично тому, как по векторам скорости строятся линии тока, по векторам Ω вихря строят вихревые линии. Подставляя в дифференциальное уравнение вихревой линии (dx/Ωx) =dy/_Ωv) = (dz/Ω_z) значения составляющих угловой скорости, можно получить систему двух независимых дифференциальных уравнений, интегрирование которой даст уравнение вихревой линии в конечной форме.

Аналогично трубке тока вихревая трубка представляет собой совокупность проходящих через каждую точку замкнутого контура вихревых линий. Движущуюся внутри вихревой трубки жидкость называют вихревой нитью. Удвоенное произведение величины Ω вихря скорости на площадь dω_n нормального к вектору вихря сечения нити называют интенсивностью вихревой нити:

По теореме Гельмгольца интенсивность вихря конечной ширины (вихревой шнур) на всем его протяжении остается постоянной.

Для вектора Ω уравнение

можно считать уравнением неразрывности, рассматривая вектор Ω как вектор скорости, откуда Ωω_n = const. Из теоремы Гельмгольца следует, что вихри не могут обрываться, так как при этом ω_n = 0, а угловая скорость Ω = ∞, что физически невозможно.

Большое значение при исследовании вихревых движений имеет понятие циркуляции скорости. Рассмотрим формальное определение этого понятия. Пусть например, на бесконечно малом отрезке контура ds в данный момент времени скорость некоторой частицы равна v. Тогда интеграл от скалярного произведения векторов v и ds на участке контура АВ

и будет представлять собой циркуляцию скорости.

На основании формул циркуляции скорости вокруг пространственного контура

или плоского контура

можно доказать, что при безвихревом движении и однозначном потенциале скорости циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю.

Рис. 9. Циркуляция скорости по элементарному прямоугольнику

Возьмем в плоскости х0у площадь dω_z (рис. 9), ограниченную бесконечно малым контуром со сторонами dx и dy. С учетом значений (3)

Сравнивая циркуляцию по произвольно ориентированному в пространстве элементарному контуру dГ = 2Ωdω_n с выражением (8), получим dГ = dJ.

Если просуммировать элементарные циркуляции по внутренним замкнутым контурам, составляющим некоторую поверхность внутри жидкости, то найдем выражение теоремы Стокса:

Теорема Стокса гласит, что циркуляция скорости жидкости по замкнутому контуру равна сумме интенсивностей вихрей, пронизывающих поверхность, опирающуюся на данный контур.

Для плоского источника ψ=(Q/2π) lnr; ϕ=(Q/2π)θ. Если поменять местами правые части этих уравнений, то величина θ изменит свою физическую сущность. Каждому ψ = (Q/2π) In r соответствует

Это означает, что линии тока образуют концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 10), т. е. имеет место циркуляционное невихревое движение.

Рис. 10. Вихрь на плоскости

Такое движение может быть вызвано действием расположенного вдоль оси 0z, нормальной к плоскости x0у, бесконечно длинного одиночного вихря. Для данного случая получим следующие формулы потенциала скорости и функции тока:

Тангенциальная и радиальная составляющие скорости соответственно примут вид

а циркуляция скорости

Тогда

Рассмотрим одиночный вихревой шнур (рис. 11). В точке А элемент вихря dL индуцирует скорость

Полная скорость для вихря длиной L

Если выделить бесконечно малый элемент dL (рис. 12) на участке вихря θN и подставить в формулу

значения sin θ = (rdθ/dL); dL= — (rdθ/sinθ); r = (r₀/sinθ), то, интегрируя в пределах от θ₂ до θ₁, найдем индуцируемую в точке А участком вихря ON скорость

Автор: Е.В. Михайловский